AI0022 - MATEMATICA

1. Algebra Lineare
Spazio numerico ad n dimensioni. Spazio vettoriale ad n dimensioni. Base di uno spazio vettoriale. Teorema fondamentale della dimensione. Spazi vettoriali ordinari. Alcune generalizzazioni. Elementi di geometria in R . Piani. Rette. Parallelismo. Iperpiani.
Prodotto scalare. Perpendicolarità fra rette, rette e piani. Angoli fra due vettori.
Matrici. Struttura di spazio vettoriale. Operazioni fra matrici.
Definizione di determinante. Teorema di Laplace. Proprietà dei determinanti. Rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.
Inversa di una matrice. Teorema dell'inversa. Inversa per ripartizione. Inversa per mezzo delle trasformazioni elementari.
Sistemi lineari. Sistemi normali. Sistemi non normali. Sistemi omogenei.

2. Funzioni elementari, limiti e funzioni continue.
Potenza n-sima e radice n- sima. funzione esponenziale e logaritmo. Funzioni seno e coseno e loro inverse. Funzioni tangente e cotangente e loro inverse. Funzioni elementari.
Valore assoluto di un numero reale. Limiti di successioni. Teoremi di unicità del limite, della funzione composta e della restrizione. Successioni di numeri reali. Criteri di regolarità. Teoremi fondamentali sui limiti di successioni.
Limiti di funzioni numeriche e vettoriali. Teoremi fondamentali sui limiti delle funzioni numeriche. Le funzioni elementari ed i loro limiti.
Funzioni continue Definizioni e primi esempi. Calcolo dei limiti per sostituzione. Teoremi sulle funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti. Definizione e prime proprietà. Teoremi su infinitesimi ed infiniti. Applicazioni della teoria ed esercizi.

3. Derivazione
Rapporto incrementale e derivate. Esempi. Funzioni derivabili. Derivata sinistra, derivata destra. Teorema della derivata sinistra e destra. Tangente ad una curva. Teorema del differenziale.
Regole di derivazione. Teorema di linearità. Derivata del prodotto e del quoziente. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore al primo. Differenziali di ordine superiore al primo.
Crescenza, decrescenza, massimi e minimi. Massimi e minimi relativi ed assoluti. Condizioni necessarie e/o sufficienti per crescenza, decrescenza, massimi e minimi.
Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Teorema di Cauchy. Teoremi dell'Hospital. Formula di Taylor col resto di Peano. Formula di Taylor col resto di Lagrange. Uso della formula di Taylor per i teoremi relativi a crescenza, decrescenza, massimi e minimi e per il calcolo approssimato dei valori assunti da una funzione.
Asintoti. Funzioni convesse e concave. Flessi. Teoremi per la ricerca dei punti di concavità e convessità e dei flessi. Studio del grafico di una funzione. Calcolo dei limiti con l'aiuto dei teoremi di dell'Hospital e della formula di Taylor. Esercizi e complementi sulla formula di Taylor.

4. Integrazione
Integrali di funzioni ad una variabile. Definizione ed interpretazione geometrica. Integrale inferiore e superiore. Alcune proprietà degli integrali. Teorema del confronto e della media. Le funzioni integrabili. Teorema del valore assoluto. Applicazioni dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Teoremi sulle primitive.
Definizione di integrale indefinito ed integrali immediati. Teorema di trasformazione della funzione integranda. Teorema di integrazione per parti. Teorema di sostituzione. Integrazioni delle funzioni razionali fratte. Metodi di calcolo degli integrali definiti : metodi esatti e approssimati. Formula di Taylor col resto integrale. Forma di Cauchy e di Lagrange. Applicazioni della formula di Taylor per il calcolo degli integrali. Esercizi sugli integrali.

5. Equazioni differenziali
Equazioni differenziali lineari del primo ordine e del secondo ordine. Teoremi di esistenza ed unicità per le soluzioni. Integrazione di equazioni differenziali esatte, a variabili separabili o riconducibili ad esse. Fattore integrante.